La regla de Pitágoras

Hace poco tiempo, realizando un curso sobre la historia de los números, en la etapa de Grecia me encontré con esta regla, aunque parezca que este post va sobre geometría, no es así, este post trata sobre la inducción, pero vamos a ver porqué...
La regla de Pitágoras es una sencilla regla para calcular el cuadrado de un número, que consiste en sumar igual número de impares que el cuadrado que quieras calcular, por ejemplo:

• El primer número impar es 1, así es que su cuadrado es 1.
• El cuadrado de 2 será la suma de los dos primeros impares, 1 y 3 que suman 4.
• El cuadrado de tres será la suma de los tres primeros impares; 1, 3 y 5 que suman 9.

Podría hacerlo para más casos, pero siempre se cumpliría, pero, ¿podía estar Pitágoras seguro de esto? Pues en realidad no. La forma en que demostramos que esto siempre se cumple es la inducción y es una herramienta relativamente reciente, de hecho el primer uso constatado es del siglo XVI.
Citando a la Wikipedia la inducción consiste:

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro  que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero  tiene la propiedad .

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero  tenga la propiedad  implica que  también la tiene (que se anota ).

Conclusión: Todos los números enteros a partir de  tienen la propiedad .

Con más rigor, el método de inducción matemática es el que realiza la demostración para proposiciones en las que aparece como variable un número natural. Se basa en un axioma denominado principio de la inducción matemática.

 Sin embargo es una herramienta con la que hay que tener cuidado ya que ha habido una fuerte controversia sobre su uso, de hecho Russell no estaba muy a su favor y se inventó la historia del pavo inductivista para prevenir de los peligros de la inducción. Hay tres normas que hay que vigilar:

• Efectuar las mismas observaciones cambiando las circunstancias.
• Si enunciamos una ley o principio general, este deberá ser derogado si encontramos un caso que lo contradiga (lo que le paso al pavo pero tarde).
• En número de veces que hemos observado un caso particular debe ser grande (¿me pregunto cuánto de grande, n+1?).

Así pues, para finalizar traigo la demostración de la Regla de Pitágoras, no sin antes recordar que hay que tener siempre cuidado con la inducción.

La proposición a demostrar es que:

                                           

Para demostrarla lo verificamos para 1, para 2, para 3,... (ya lo hemos hecho previamente) la suponemos cierta para n y ahora tendríamos que demostrarla para n+1.

A continuación hacemos el desarrollo de 2(n+1) y del cuadrado de la derecha:

Y poniendo paréntesis adecuadamente:

Eliminando a izquierda y derecha (2n+1) nos queda la proposición inicial:

Que suponíamos cierta y que ahora podemos afirmar sin miedo a equivocarnos que lo es.

Por tanto Pitágoras podía estar tranquilo, su regla se cumpliría siempre.

Esta demostración se puede encontrar también en Gaussianos, en el siguiente enlace. http://gaussianos.com/sumando-numeros-impares/