La regla de Pitágoras

Hace poco tiempo, realizando un curso sobre la historia de los números, en la etapa de Grecia me encontré con esta regla, aunque parezca que este post va sobre geometría, no es así, este post trata sobre la inducción, pero vamos a ver porqué...
La regla de Pitágoras es una sencilla regla para calcular el cuadrado de un número, que consiste en sumar igual número de impares que el cuadrado que quieras calcular, por ejemplo:

• El primer número impar es 1, así es que su cuadrado es 1.
• El cuadrado de 2 será la suma de los dos primeros impares, 1 y 3 que suman 4.
• El cuadrado de tres será la suma de los tres primeros impares; 1, 3 y 5 que suman 9.

Podría hacerlo para más casos, pero siempre se cumpliría, pero, ¿podía estar Pitágoras seguro de esto? Pues en realidad no. La forma en que demostramos que esto siempre se cumple es la inducción y es una herramienta relativamente reciente, de hecho el primer uso constatado es del siglo XVI.
Citando a la Wikipedia la inducción consiste:

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro  que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero  tiene la propiedad .

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero  tenga la propiedad  implica que  también la tiene (que se anota ).

Conclusión: Todos los números enteros a partir de  tienen la propiedad .

Con más rigor, el método de inducción matemática es el que realiza la demostración para proposiciones en las que aparece como variable un número natural. Se basa en un axioma denominado principio de la inducción matemática.

 Sin embargo es una herramienta con la que hay que tener cuidado ya que ha habido una fuerte controversia sobre su uso, de hecho Russell no estaba muy a su favor y se inventó la historia del pavo inductivista para prevenir de los peligros de la inducción. Hay tres normas que hay que vigilar:

• Efectuar las mismas observaciones cambiando las circunstancias.
• Si enunciamos una ley o principio general, este deberá ser derogado si encontramos un caso que lo contradiga (lo que le paso al pavo pero tarde).
• En número de veces que hemos observado un caso particular debe ser grande (¿me pregunto cuánto de grande, n+1?).

Así pues, para finalizar traigo la demostración de la Regla de Pitágoras, no sin antes recordar que hay que tener siempre cuidado con la inducción.

La proposición a demostrar es que:

                                           

Para demostrarla lo verificamos para 1, para 2, para 3,... (ya lo hemos hecho previamente) la suponemos cierta para n y ahora tendríamos que demostrarla para n+1.

A continuación hacemos el desarrollo de 2(n+1) y del cuadrado de la derecha:

Y poniendo paréntesis adecuadamente:

Eliminando a izquierda y derecha (2n+1) nos queda la proposición inicial:

Que suponíamos cierta y que ahora podemos afirmar sin miedo a equivocarnos que lo es.

Por tanto Pitágoras podía estar tranquilo, su regla se cumpliría siempre.

Esta demostración se puede encontrar también en Gaussianos, en el siguiente enlace. http://gaussianos.com/sumando-numeros-impares/

En tiempos de paro, formación.

Hoy os traigo los cursos que propone la SAEM-Thales para el próximo semestre y algunas otras formaciones que estoy realizando. Como algunos sabéis me encuentro en paro por culpa del gobierno del PPSOE y de sus medidas maleducativas, sin embargo aprovecho mi tiempo en varios frentes:

1. Obtener el B2: Hoy en día, es primordial el inglés, no sólo porque las bolsas bilingües vayan más rápido sino porque en los centros privados también lo exigen, yo he optado por obtenerlo a través de Trinity, que es una de las tres vías aceptadas por la administración (a saber, 5º de la EOI, First Certificate de Cambridge e ISEII de Trinity) y que con gran probabilidad conseguiré en marzo. Una vez conseguido no pararé ahí, pretendo continuar y obtener el C1 y C2 con más tiempo.
2. Docotorado: Pues sigo adelante con el doctorado de Didáctica de las Matemáticas y el pasado septiembre tuve la oportunidad de exponer mi trabajo en el congreso de la SEIEM.
3. Cursos de la SAEM-Thales, salen semestralmente y para el próximo semestre ya le tengo echado el ojo a 2 de ellos.
4. Cursos de la UJA: También salen de vez en cuando algunos interesantes y los aprovecho.

Si vosotros estuvieseis en paro, ¿aprovecharíais vuestro tiempo en formaros, o buscaríais trabajo desde el principio?

Clases particulares

Ahora que estamos en época de exámenes se ponen de moda las clases particulares, esas "clases extras" que reciben nuestros hijos porque no comprenden algo o porque tienen miedo a preguntar en clase...
Sin embargo, ¿tienen sentido en la actualidad estas clases? Hoy día podemos encontrar en internet clases particulares online a gusto del usuario, desde la famosa Khan Academy que ya existe en español a ciertos canales de youtube como el de lasmatematicaes apto para secundaria o el de juanmemol algo más adaptado a alumnos mayores.
Teniendo internet en casa ¿gastaríais un suplemento en clases particulares teniendo estos recursos a vuestro alcance?

Cine y matemáticas, esa divertida relación.

He estado realizando un curso de Cine y matemáticas a través de la SAEM-Thales, el curso ha sido impartido por Abel Martín, Marta Martín y Álvaro Valdés, quienes, además de impartir este curso, tienen una página que sirve como recurso para todos los profes que os planteáis utilizar este recurso en el aula aunque no hayáis hecho el curso, la página se llama mathmovies, y está muy bien ordenada, por temáticas, con sus unidades didácticas para trabajar, etc...
¿Qué no encontráis un hueco para trabajar este recurso? ¡Venga ya! Se puede trabajar este recurso en la semana previa a la Navidades, a la Semana Santa y a fin de curso. Si impartes proyecto integrado es un excelente lugar donde trabajarlo, incluso en alternativa a religión... El caso es que es un recurso excelente y os lo quería traer aquí, para compartirlo con todos vosotros, espero que lo disfrutéis...

Cuestión de pelotas

Una de las cosas que más sorprende a los alumnos cuando les enseñas geometría es el momento en el que afirmas que la pelota de fútbol no es una esfera. "¿Cómo no va a serlo, maestro?" Preguntan desconsolados  "si en todos los sitios le llaman el esférico." Pues no, no lo es, es un icosaedro truncado, cuyas caras son hexágonos y pentágonos.
Si seguimos adelante con nuestra afirmación podremos aplicarle la fórmula de Euler, C+V=A+2 y verificarlo. ¿Qué obtendrían?
Es algo que sorprende mucho a nuestros alumnos, pero aún se sorprenden más cuando les lanzas la siguiente pregunta ¿hay algún poliedro que se aproxime más a la esfera? entonces... ¿por qué no lo usamos? Pero esa es una cuestión, que como con ellos, abordaré otro día... Sólo os digo que la fórmula de Euler sirve para justificar esa decisión y así vemos que las matemáticas están detrás de más cosas de las que pensamos.

Imagen obtenida de aquí, donde podéis obtener una plantilla de este sólido.

Redes sociales

Hace algún tiempo os traje una red social ideal para trabajar con los alumnos y que, por lo lo que he podido observar, emplean muchos docentes, esa red era Edmodo y me parece muy aconsejable para utilizar, uno de los handycaps o problemas que le veía es que no utiliza muy bien el español y que la localización de compañeros en España era un poco extraña, por ello os traigo una alternativa que me gusta bastante, aunque también tiene sus limitaciones, se llama Redalumnos y tiene algunos elementos que me gustan, como el hecho de poder vincular un dropbox a tu cuenta Redalumnos, lo que permite compartir información más fácilmente, la posibilidad de pilotar blogs desde la red social, poder compartir enlaces además de documentos y la inclusión de webquest y exámenes online (no sólo la típica tarea.)

Os recomiendo el uso de esta red social educativa, yo si tengo la oportunidad comenzaré a utilizarla este año para probarla ya que en principio me parece un poco más completa que Edmodo y es una gran alternativa al típico moodle que no te permite, a mi gusto, una interacción tan grande con los alumnos como una red social.
Actualización 17/09/2012: He encontrado una comparativa entre edmodo y redalumnos por si alguno la quiere en este blog.

Tocando las matemáticas

En esta época del año estoy trabajando con mis chicos la trigonometría, y como con este buen tiempo es una lata enseñar en el aula me los saco al patio de recreo para que "toquen" las matemáticas. Así que hoy os traigo una actividad sobre trigonometría muy sencilla y que deja a los alumnos con la boca abierta, vamos a medir la altura del instituto sin necesidad de subir a la terraza. Para realizarla necesitamos:

• Un transportador de madera, como los que hay en las aulas de educación plástica y visual, si no es posible uno de plastico que sea grande bastará, aunque es más difícil se precisos.
• Una cinta métrica de 25 metros.
• Plano del instituto.

Utilizaremos el método de la tangente.

1. Vamos a buscar hacia donde se proyecta la sombra del edificio, una vez localizada mediremos con la cinta métrica la longitud de dicha sombra.
2. Una vez hecho esto cogeremos nuestro transportador y mediremos el ángulo de incidencia del sol.
3. Con estos dos datos podemos calcular la altura del edificio usando la tangente. Por ejemplo, en el instituto donde trabajo medí una sombra de 4 metros y un ángulo para esa sombra de 73º.

Lo que arroja una altura de 13.08 metros, frente a los 12.6 metros de plano, esto es un error del 3.7%, bastante aceptable para el método que hemos empleado y lo a ojímetro que se realiza...